Julian Havil, Manfred Stern's Gamma PDF

By Julian Havil, Manfred Stern

ISBN-10: 3540484957

ISBN-13: 9783540484950

Jeder kennt p = 3,14159…, viele kennen e = 2,71828…, einige i. Und dann? Die "viertwichtigste" Konstante ist die Eulersche Zahl g = 0,5772156… - benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). Bis heute ist unbekannt, ob g eine motive Zahl ist. Das Buch lotet die "obskure" Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identität, Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Fettfinger in Wörterbüchern, elende mathematische Würmer und Jeeps in der Wüste. Besser kann guy nicht über Mathematik schreiben. was once Julian Havil dazu zu sagen hat, ist spektakulär.

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Eine andere Ziffer entfernt wird. 1 an. Dort ist jede der neun einstelligen ganzen Zahlen gr¨ oßer als 1 oder gleich 1, das heißt jeder der Summanden mit dem entsprechenden Nenner ist kleiner als 1 oder gleich 1. Jede der 92 zweistelligen ganzen Zahlen ist gr¨ oßer als 10 oder gleich 10, das heißt jeder 1 der Summanden mit dem entsprechenden Nenner ist kleiner als 10 oder gleich 1 und so weiter.

10n−1 → 10n − 1 8 8×9 8 × 9 × 9 = 8 × 92 8 × 9 × 9 × 9 = 8 × 93 8 × 9n−1 8 + 8 × 9 + 8 × 92 + 8 × 93 + · · · +8 × 9n−1 (9n − 1) = 8 9−1 = 9n − 1 Glieder von den 10n − 1 m¨oglichen. Es ist offensichtlich, daß das letztgenannte Argument f¨ ur jede der u ¨brigen Ziffern 2, . . , 9 zutrifft, obwohl sich die tats¨achlichen Summen (falls sie existieren) in Abh¨ angigkeit von den eliminierten Ziffern ¨andern. Anders ausgedr¨ uckt bel¨ auft sich bez¨ uglich der Ziffer 0 der Anteil der eliminierten Glieder auf (10n − 1) − 98 (9n − 1) 9 9n − 1 = 1 − −−−−→ 1 − 0 = 1 10n − 1 8 10n − 1 n→∞ und bez¨ uglich der u ¨brigen Ziffern liegt dieser Anteil bei 9n − 1 (10n − 1) − (9n − 1) = 1 − −−−−→ 1 − 0 = 1.

Insbesondere werden sie ja auch schon lange nicht mehr f¨ ur den Zweck verwendet, f¨ ur den sie eigentlich erfunden worden waren, n¨ amlich als Rechenhilfe. 4 Ein Hauch Euler 23 bezeichnen w¨ urden. Vor 1636 hatten n¨ amlich Pierre Fermat (1601–1665) (auf den wir in einem sp¨ ateren Kapitel zur¨ uckkommen) und andere gezeigt, daß19 a xn dx = 0 an+1 n+1 f¨ ur alle rationalen Zahlen n = −1 gilt, aber der Ausdruck f¨ ur die Fl¨ache unter der rechtwinkligen Hyperbel y = 1/x erwies sich auch weiterhin als unfaßlich.

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Gamma by Julian Havil, Manfred Stern


by Ronald
4.1

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