# Algebra, WS 2009 by Martin Goldstern PDF

By Martin Goldstern

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0, y , 0, . . , 0) = (0, . . , 0), j−te Stelle woraus — nach Anwendung von ϕ — xy = 0 folgt. b) ⇒ c): I) und II) folgen aus dem zweiten Satz u ur bi ∈ Ui , ¨ber Gruppen. Zu III): F¨ r = a1 + · · · + an ∈ R gilt rbi = (a1 +· · ·+an )bi = a1 bi +· · ·+ai bi +· · ·+an bi = 0+· · ·+0+ai bi +0+· · ·+0 = ai bi ∈ Ui . Analog zeigt man bi r ∈ Ui . c) ⇒ a): Da ϕ nach I) und II) bijektiv ist (folgt aus dem Satz u ¨ber Gruppen), muss nur mehr gezeigt werden, dass ϕ Homomorphismus ist. Bez¨ uglich + folgt dies ebenfalls aus dem Satz u uglich · gilt: ¨ber Gruppen, bez¨ ϕ((a1 , .

3. F¨ ur jedes i ist die Abbildung hi : Ai → lim A , die durch hi (x) = [i, x] definiert ist, ein Homomorphismus. 4. F¨ ur alle i ≤ j gilt hi = hj ◦ hij . 48 Kapitel 3 Freie Algebren Wir betrachten in diesem Kapitel Algebren eines beliebigen (aber festen) Typs n = (ni )i∈I . Wenn wir also von einer Algebra sprechen, meinen wir immer eine Algebra vom Typ n. Wir unterscheiden in der Notation oft nicht zwischen einer Algebra und ihrer Grundmenge; eine Algebra (A, (ωi )i∈I ) bezeichnen wir also auch mit A.

T2 (f (a), f (b), f (c), . ) das Gesetz auch in A∗ g¨ ultig. Die Terme sind dabei aus endlich vielen Variablen und Operationssymbolen (f¨ ur A bzw. A∗ ) aufgebaut. 8 Anmerkung. Ist (A, (ωi )i∈I ) Algebra, so nennt man (ωi )i∈I die fundamentalen Operationen, Terme dagegen abgeleitete Operationen. 30 Interpretation des letzten Satzes: Jedes homomorphe Bild einer Halbgruppe ist eine Halbgruppe. Analog zeigt man: Jedes homomorphe Bild 1) einer (abelschen) Gruppe ist eine (abelsche) Gruppe, 2) eines (kommutativen) Ringes ist ein (kommutativer) Ring, 3) eines Ringes mit Einselement ist ein Ring mit Einselement, 4) eines Verbandes ist ein Verband3 , 5) einer Booleschen Algebra ist eine Boolesche Algebra, 6) eines Vektorraumes u ¨ber K ist ein Vektorraum u ¨ber K.